Fórmulas Cálculo 1, 2 y 3
Matemáticas Básicas
- Aritmética: \( a + b \), \( a - b \), \( a \times b \), \( \frac{a}{b} \)
- Potencias: \( a^n \)
- Raíces: \( \sqrt[n]{a} \)
- Exponenciales: \( e^x \)
- Logaritmo natural: \( \ln(x) \)
- Relación: \( e^{\ln(x)} = x \)
Álgebra Básica
- Ecuación lineal: \( ax + b = 0 \) → \( x = \frac{-b}{a} \)
- Ecuación cuadrática: \( ax^2 + bx + c = 0 \) → \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
- Métodos para sistemas de ecuaciones: sustitución, igualación, eliminación, matrices.
Álgebra Lineal
- Magnitud de un vector: \( ||\mathbf{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)
- Producto punto: \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)
- Producto cruz: \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k} \)
- Determinante de matriz 2x2: \( \text{det}(A) = ad - bc \)
- Inversa de matriz 2x2: \( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)
Cálculo 1 (Derivadas)
- Definición de derivada: \( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
- Regla del poder: \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
- Derivadas comunes: \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \), \( \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \), \( \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \), \( \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) \)
- Regla del producto: \( \frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv' \)
- Regla del cociente: \( \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
- Regla de la cadena: \( \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) \)
Cálculo 2 (Integrales)
- Integral indefinida: \( \int f'(x) dx = f(x) + C \)
- Integrales básicas:
\( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \),
\( \int e^x dx = e^x + C \),
\( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \),
\( \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \),
\( \int \cos(x) dx = \sin(x) + C \)
- Integral definida: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \)
- Integración por partes: \( \int u dv = uv - \int v du \)
- Sustitución: \( \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u) du \)
- Series de Taylor: \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n \)
- Serie de Maclaurin: \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \)
Cálculo 3 (Cálculo Multivariable)
- Derivadas parciales: \( f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) \), \( f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} f(x, y) \)
- Gradiente: \( \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \)
- Divergencia: \( \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z} \)
- Rotacional: \( \nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}, \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}, \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) \)
- Teorema de Green: \( \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA \)
- Teorema de Stokes: \( \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} \)
- Teorema de la Divergencia (Gauss): \( \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV \)